До уваги 9 клас Алгебра

Тема тижня

Арифметична й геометрична прогресії, їх означення та властивості. Формули n – го члена кожної прогресії

Добрий день! Сьогодні ми з вами здійснимо захоплюючу подорож у країну ПРОГРЕСІЙ. На шляху подорожі ми будемо зупинятися на різних станціях і виконувати всі запропоновані завдання з нової теми. Пропоную вам девізом нашої подорожі такі слова (написані на плакаті й висять над дошкою):

„У математиці варто пам’ятати не формули, а процеси мислення”.

У подорожі по країні Прогресій будуть допомагати учні вашого класу, які спеціально готувалися до сьогоднішнього уроку, мали випереджальні завдання з нової теми. Отже, щасливої дороги й міцних знань!

Зупинка „Воруши мозком!”

* Перед вами кілька числових послідовностей. Вам необхідно продовжити кожну з них ще двома членами, але при цьому ви повинні усвідомити закон, за яким складена кожна з послідовностей:

А тепер постарайтеся розділити ці послідовності в два стовпчики, сформулювавши загальний закон їхнього складання.

Зупинка „Теоретична”

* Вводиться означення арифметичної й геометричної прогресій:

(підручник , , М. С.Якір. Алгебра 9 кл. – Харків, „Гімназія”, 2009):

ст. 220 – ар. пр. ст. 235 – геом. пр.

* Вводиться назва й означення різниці арифметичної й знаменника геометричної прогресій:

d = аn+1 – аn q = bn+1: bn

Для записаних у зошитах прогресій назвіть різницю й знаменник.

* Вводиться поняття рекурентного способу задання прогресій (за підручником). Розгляд прикладів (ст. 221, 236). Наведіть свої приклади.

* Вивід формули n – го члена прогресій.

Ар. пр.: Геом. пр.:

а2 = а1 + d b2 = b1q

a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d b3 = b2q = (b1q)q = b1q2

a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d b4 = b3q =(b1q2)q = b1q3

a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d b5 = b4q = (b1q3)q = b1q4

a6 = a1 + 5d b6 = b1q5

........................................................... ...........................................

an = a1 + d (n – 1) bn = b1 · qn-1

* Формулюється характеристична властивість кожної прогресії.

Зупинка „Логіка плюс мислення”

* Завдання: нескінченна послідовність (an): –3; –1,5; 0; … є ар. пр.

Побудуйте графік цієї послідовності для 1 ≤ n ≤ 6.

Напишіть рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка цієї послідовності.

Розв’язання:

Знайдемо різницю ар. пр і її члени а4, а5, а6.

d = –1,5 – (–3) = 1,5;

а4 = 0 + 1,5 = 1,5;

а5 = 1,5 + 1,5 = 3;

а6 = 3 + 1,5 = 4,5.

У координатній площині будуємо точки:

(1;–3), (2; –1,5), (3;0), (4;1,5), (5;3), (6;4,5).

За формулою n – го члена знаходимо:

an = –3 + 1,5 (n – 1) = 1,5n – 4,5

an =1,5n – 4,5 – це рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка даної послідовності.

Висновок: послідовність (an), що задана формулою виду an= kn + b, де k і b – деякі числа, є арифметичною прогресією.

Зупинка „Історична”

* Коротка довідка про поняття „прогресія” (Глейзер математики в школе, – Москва, «Просвещение». 1982).

4. Етап формування навичок і вмінь.

Зупинка „Практична”

* усні вправи №№ 000, 670, 767, 770( 1,2);

* письмові вправи з коментуванням №№ 000, 667, 768.

Зупинка „Математичні терміни”

* За 1 хвилину потрібно написати найбільшу кількість математичних термінів, які починаються з букв слова «прогресія» (наприклад, площа, периметр, різниця, радіус, ромб, об'єм, одиниця, гіпербола, градус, графік, ступінь, сума)

Зупинка „Хто більше?” (робота в групах по 4 учні)

* Використовуючи наступні дані, скласти опорні задачі з даної теми, використовуючи формулу n – го члена прогресій:

1) а1 = 5, а2 = 7, d = 2, an = 19, n = 8;

2) b1 = 5, b2 = 25, q = 5, bn = 625, n = 4.

Типи задач:

-  Означення арифметичної (геометричної) прогресії, різниця (знаменник) даної прогресії.

-  Застосування формули n – го члена для знаходження довільного члена даної прогресії.

-  Застосування формули n – го члена для знаходження першого члена даної прогресії.

-  Застосування формули n – го члена для знаходження номера члена даної прогресії.

Зупинка „Навчаючи – вчуся!”

(працюють учні, що одержали випереджальне завдання додому).

Задача 1. Довжини сторін прямокутного трикутника є послідовними членами арифметичної прогресії з різницею d см. Знайдіть три трійки чисел, що виражають довжини сторін цього трикутника.

Розв’язання:

Нехай х (см) – довжина меншого катета; (х + d) см – довжина іншого катета;

(х + 2d) см – довжина гіпотенузи.

За т. Піфагора: (х + 2d)2 = х2 + (х + d)2.

Розв’язуючи дане рівняння, прийдемо до наступного: х2 – 2хd – 3d = 0;

х1 = 3d; х2 = –d – не задовольняє умові задачі.

Нехай d = 1, тоді довжини сторін трикутника дорівнюють 3, 4, 5 см.

Нехай d = 2, тоді довжини сторін дорівнюють 6, 8, 10 см.

Нехай d = 3, тоді довжини сторін дорівнюють 9, 12, 15 см.

Задача 2. Периметр трикутника дорівнює 111 см, а довжина найменшої сторони 27 см. Знайти довжини двох інших сторін цього трикутника, якщо відомо, що довжини сторін трикутника являють собою послідовні члени геометричної прогресії.

Розв’язання:

Нехай довжини сторін трикутника – члени геометричної прогресії зі знаменником q, тоді друга сторона дорівнює ( 27q) см, а третя – ( 27q2) см.

Р = 27 + 27q + 27q2 або 111 см.

Складемо й розв’яжемо рівняння:

27 + 27q + 27q2 = 111;

9q2 + 9q – 28 = 0;

Завдання додому: прочитати теоретичний матеріал пп.21, 23;

вивчити конспект;

виконати №№ 000, 673, 775, 778.

Продовжуємо вивчати

Арифметична і геометрична прогресії

Девіз уроку: Приклади в навчанні корисніші за правила.  Ісаак Ньютон

Російський математик сказав: «Є одна наука, без якої неможлива ніяка наука. Це – математика. Її поняття та символи слугують тією мовою, якою говорять, пишуть і думають інші науки, вона пояснює закономірність складних явищ, приводить їх до простих, елементарних явищ природи. Вона прогнозує, обчислює далеко вперед з великою точністю хід речей».

На сьогоднішньому уроці ми розглянувши розв’язання різноманітних задач узагальнимо і систематизуємо наші знання з теми «Арифметична і геометрична прогресії».Запишіть число і тему уроку.

Ми вивчаємо одну з найцікавіших тем математики – прогресії. Внутрішня гармонія, строга витончена краса роблять теорію арифметичної і геометричної прогресії відображенням фундаментальних властивостей життя того вимагає.

На сьогоднішньому уроці ми побачимо, як можна застосувати вивчене в житті, в науках.

 Питання до вас:

Питання1.  Сформулюйте означення арифметичної прогресії.

Питання2.  Дайте означення геометричної прогресії.

Питання3.  Що спільного в означеннях, чим вони відрізняються?

Питання4. Яке число називається різницею n – го члена арифметичної прогресії?

Питання5. Що називається знаменником геометричної прогресії?

« Розминка».

  Перед вами на картках записані різні послідовності. Ваше завдання – правильно визначити тип послідовності і вказати відповідь.

    Арифметична прогресія – А; геометрична прогресія – Г; арифметична і одночасно геометрична – АГ; ні арифметична ні геометрична – Х.

1)  4; 8; 12; 16; 20; …  

2)  3; 32; 33; 34; 35; … 

3)  -2; -5; -8; -11; -14;…  

4)  6; 6; 6; 6; 6; … 

5)  1; ½; ¼; 1/8; …     

6)  1; 0,1; 0,01; 0,001; … 

7)  2; 7 ; 9; 22; 36; …   

8)  2; 3; 5; 7; 11; … 

9)  2; 4; 6; 8; 10; …  

10)   9; 9; 9; 9; 9; …  

11)   2; 4; 8; 16; 32; …

12)   1/5; 1/10; 1/15; 1/20; … 

Знаючи означення і властивості числових послідовностей  дає можливість використовувати їх при розв’язанні задач різноманітного характеру.

У клинописних табличках вавилонян, як і в єгипетських папірусах, які належать II тисячоліттю до нашої ери, зустрічаються приклади арифметичної і геометричної прогресії. 

 Ось одна єгипетська  задача з папірусу Ахмеса:

Нехай тобі сказано поділити 10 мір ячменю між 10 людьми, різниця між кожною людиною і її сусідом дорівнює 1/8 міни ( 1міна = 60 шекелів).

  Розв’язуючи такі задачі єгиптяни користувалися правилом, яке сучасною символікою можна записати так:   

  А = S/n – (n – 1) d/2,

А цей запис еквівалентний формулі:

  S = (a+b)/2 · n

Перші задачі на прогресії, які дійшли до нас, пов’язані з життєвими потребами людини.

 У папірусі Ахмеса є задача, в якій потрібно знайти суму n членів геометричної прогресії, знаючи її перший член і знаменник.

  З однієї клинописної таблички можна зробити висновок, що, спостерігаючи за Місяцем, вавилоняни дійшли висновку: за перші 5 днів після нового місяця зростання Місячного диска відбувається за законом геометричної прогресії із знаменником 2.

 У пізнішій табличці йдеться про суму геометричної прогресії

  1 + 2 + 22 + …+ 29.

Розв’язання і відповідь показують, що автор користувався формулою:

  Sn + 2n + ( 2n – 1 ),

але як він дійшов до цієї формули нічого не відомо.

 Слово «прогресія» латинського походження і означає рух вперед. З поняттям прогресії пов’язані різні історії і легенди. Ось одна з них задача – легенда.

 Індійський правитель Шерам покликав до себе винахідника шахової гри, свого підданого Сету, щоб нагородити його за винахід. Сету захотів за першу клітинку шахової дошки 1 пшеничне зерно, за другу 2 зернини, за третю – 4 зернини і т. д. Правитель не зміг виконати бажання Сети. Чому?

  Розв’язання.

У цій задачі треба знайти суму геометричної прогресії (bn): 1, 2, 4, 8, …, 263.

  S64= 264 – 1 = 18,5· 1018 = 18 446 744 073 709 551 615.

Таку кількість зерна пшениці можна зібрати з площі 2000 разів більшої від усієї поверхні  Землі.

 Одного разу на уроці у третьому класі, де навчався Карл Гаусс (з часом відомий  німецький математик), учитель запропонував знайти суму чисел від 1 до 100. Гаусс закінчив обчислення, ледве вчитель закінчив коментувати завдання.

  Розв’язання.

  1 + 100 = 101,

  2 + 99 = 101,

  3 + 98 = 101, і т. д.

 Таких пар буде  100 : 2 = 50, тепер залишилося 101 · 50=5050.

Прогресії у фізиці.

Хочеться продемонструвати ще одну грань застосування прогресії. Я буду говорити про використання прогресії в фізиці.

Прогресії виражають закони деяких фізичних явищ. Наприклад, тіло, що вільно падає, рухається рівноприскорено. Який рух називається рівноприскореним? Відрізки шляху, пройдені цим тілом за першу, другу, третю, четверту,… секунди, становлять арифметичну прогресію. 

 Відкрийте підручник на стор.255, задача № 000.

 Задача. Тіло, що вільно падає, за одну секунду долає 4,9м, а за кожну наступну – на 9,8м більше, ніж за попередню. Знайдіть глибину шахти, якщо тіло  опинилося на дні через 8с від початку падіння.

Дано:  Розв’язок.

h1 = 4,9м  S = v0t + at2/2 , т. як v0 = 0

а =9,8 м/с2  S = at2 / 2

t = 8c  S = 9,8 · 64 : 2 = 313,6м

S - ? , де S - шлях при рівноприскореному русі

 А ось як ця ж задача розв’язується в алгебрі (розв’язок показано на дошці)

Дано:  Розв’язок. 

 а1  = 4,9  аn = а1 + d( n – 1 ); Sn= (a1 + an)n : 2

 d  = 9,8  a8 = a1 + 7d  ;  S8  = (a1 + a8 ) n : 2 

 Знайти: S8 -?  a8 = 4,9 + 7 · 9,8 = 73,5

   S8 = (4,9 + 73,5)8 : 2 = 313,6

 Відповідь: 313,6 м.

   Ви переконались, що розв’язуючи задачі за допомогою формул фізики і формулами арифметичної прогресії ми одержуємо одну і ту ж відповідь. Це дає змогу зробити висновок : за допомогою формул арифметичної, геометричної прогресій можна розв’язувати не лише  математичні задачі.

Задача економічного змісту.

Уявіть, що ви хочете взяти в банку кредит у розмірі 3000 гривень. За перший день ви будете зобов'язані заплати­ти банку 1 копійку, за другий —

2 копійки, за третій  4 ко­пійки і т. д. Чи укладете ви з цим банком договір не менше ніж на 10 днів?

Розв’язання.

1,2,4…- геометрична прогресія, b1=1, q=2? S10 -?

Задача біологічного змісту.

Бактерія, потрапивши в ор­ганізм людини, до кінця 20-ї хвилини ділиться на дві, кожна з них до кінця 20-ї хвилини знову ділиться на дві і т. д. Скільки бактерій буде в орга­нізмі людині через 1 годину? 2 години? 1 добу?

Розв’язання.

А тепер, діти, ви приступаєте до виконання самостійної роботи. Відповіді підкреслюєте, а необхідні обчислення виконуєте в робочому зошиті.

Самостійна робота в тестовій формі і розрахована на 5 хв. Перевіряється в режимі взаємоперевірки за заготовленими відповідями на дисплеї комп’ютера.

Завдання 1, 2 оцінюються 1 балом, завдання 3-7 по 2 бали.

Самостійна робота

1. Знайти різницю арифметичної прогресії: 2;-2;....

А.0. Б. 2.

В. 4. Г.-4.

2. Знайти знаменник геометричної прогресії
(bn),якщо b1 =1, b2 =6.

А. 5. Б. 6.

В. 7. Г. -5.

3. Дано: (ап) — арифметична прогресія,

а1 = -3, d = - 6. Знайти а5.

А. -21. Б. 6.

В. 21. Г. -27.

4. Дано: ( bп) — геометрична прогресія, b1 = 16, q = .Знайти S4 .

А. -2. Б. 14.

В. 7,5. Г. –30.

5. Дано: (ап) — арифметична прогресія, а1 = 8,d = . Знайти S6 .

А. 15 . Б. 126.

В. 55,5. Г. 15.

6. Записати у вигляді звичайного дробу 1,(17).

А. . Б. 1 .

В. . Б. .

7. Знайти суму всіх двоцифрових чисел, крат­них 6.

А. 360. Б. 540.

B. 960. Г. 810.

Задача (розігрується в ролях)

Мешканець маленького містечка був відомий своєю скнарістю. Коли в нього були справи в по­вітовому місті, розташованому в 25 км від цього містечка, він, звичайно, шукав сусідів, які б підвез­ли його. Одного разу скнара крутився на площі, шукаючи того, хто підвіз би його «за спасибі» додо­му. Але цього разу нікого не було, і він змушений був шукати платного візника. Скнара обійшов їх усіх, торгуючись з ними й порівнюючи ціни. Один просив 250 грн., другий — 200 грн., а третій — 150 грн. Усі ці ціни здалися йому занадто високи­ми. Нарешті він помітив візника з убогим візком і жалюгідною шкапою. Коли скнара запитав його, скільки він візьме за дорогу, той подивився на зем­лю, почухав потилицю і відповів: «За перший кіло­метр заплатите мені 1 к., за другий — 2 к., за тре­тій — 4 к., за четвертий — 8к., і так до кінця шляху». «От дурний, — подумав скнара, ледве стримуючи сміх, — лічить на копійки». Поспіхом він заліз у візок і гукнув “Згоден ! Поїхали!» . Скільки грошей він повинен заплатити за дорогу?

2. Домашнє завдання.

Домашнє завдання ви будете сьогодні вибирати самостійно. Попереду у вас державна підсумкова атестація з алгебри. Подібних завдань в збірнику завдань для державної підсумкової атестації з теми «Прогресії» багато, тому ви зараз оберете собі варіант тренувальних вправ. Зверніть увагу, що кожен варіант містить задачу від банку і задачу від альпініста.

На цьому наш урок закінчено, спасибі вам за співпрацю.

Арифметична прогресія та геометрична прогресії навколо нас

Пропоную узагальнити знання з теми «Арифметична прогресія». 

Продемонструвати практичне застосування даної теми в різних галузях.

Продовжуємо вивчати геометричну прогресію

Тема тижня

Арифметична й геометрична прогресії, їх означення та властивості. Формули n – го члена кожної прогресії

Добрий день! Сьогодні ми з вами здійснимо захоплюючу подорож у країну ПРОГРЕСІЙ. На шляху подорожі ми будемо зупинятися на різних станціях і виконувати всі запропоновані завдання з нової теми. Пропоную вам девізом нашої подорожі такі слова (написані на плакаті й висять над дошкою):

„У математиці варто пам’ятати не формули, а процеси мислення”.

У подорожі по країні Прогресій будуть допомагати учні вашого класу, які спеціально готувалися до сьогоднішнього уроку, мали випереджальні завдання з нової теми. Отже, щасливої дороги й міцних знань!

Зупинка „Воруши мозком!”

* Перед вами кілька числових послідовностей. Вам необхідно продовжити кожну з них ще двома членами, але при цьому ви повинні усвідомити закон, за яким складена кожна з послідовностей:

А тепер постарайтеся розділити ці послідовності в два стовпчики, сформулювавши загальний закон їхнього складання.

Зупинка „Теоретична”

* Вводиться означення арифметичної й геометричної прогресій:

(підручник , , М. С.Якір. Алгебра 9 кл. – Харків, „Гімназія”, 2009):

ст. 220 – ар. пр. ст. 235 – геом. пр.

* Вводиться назва й означення різниці арифметичної й знаменника геометричної прогресій:

d = аn+1 – аn q = bn+1: bn

Для записаних у зошитах прогресій назвіть різницю й знаменник.

* Вводиться поняття рекурентного способу задання прогресій (за підручником). Розгляд прикладів (ст. 221, 236). Наведіть свої приклади.

* Вивід формули n – го члена прогресій.

Ар. пр.: Геом. пр.:

а2 = а1 + d b2 = b1q

a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d b3 = b2q = (b1q)q = b1q2

a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d b4 = b3q =(b1q2)q = b1q3

a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d b5 = b4q = (b1q3)q = b1q4

a6 = a1 + 5d b6 = b1q5

........................................................... ...........................................

an = a1 + d (n – 1) bn = b1 · qn-1

* Формулюється характеристична властивість кожної прогресії.

Зупинка „Логіка плюс мислення”

* Завдання: нескінченна послідовність (an): –3; –1,5; 0; … є ар. пр.

Побудуйте графік цієї послідовності для 1 ≤ n ≤ 6.

Напишіть рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка цієї послідовності.

Розв’язання:

Знайдемо різницю ар. пр і її члени а4, а5, а6.

d = –1,5 – (–3) = 1,5;

а4 = 0 + 1,5 = 1,5;

а5 = 1,5 + 1,5 = 3;

а6 = 3 + 1,5 = 4,5.

У координатній площині будуємо точки:

(1;–3), (2; –1,5), (3;0), (4;1,5), (5;3), (6;4,5).

За формулою n – го члена знаходимо:

an = –3 + 1,5 (n – 1) = 1,5n – 4,5

an =1,5n – 4,5 – це рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка даної послідовності.

Висновок: послідовність (an), що задана формулою виду an= kn + b, де k і b – деякі числа, є арифметичною прогресією.

Зупинка „Історична”

* Коротка довідка про поняття „прогресія” (Глейзер математики в школе, – Москва, «Просвещение». 1982).

4. Етап формування навичок і вмінь.

Зупинка „Практична”

* усні вправи №№ 000, 670, 767, 770( 1,2);

* письмові вправи з коментуванням №№ 000, 667, 768.

Зупинка „Математичні терміни”

* За 1 хвилину потрібно написати найбільшу кількість математичних термінів, які починаються з букв слова «прогресія» (наприклад, площа, периметр, різниця, радіус, ромб, об'єм, одиниця, гіпербола, градус, графік, ступінь, сума)

Зупинка „Хто більше?” (робота в групах по 4 учні)

* Використовуючи наступні дані, скласти опорні задачі з даної теми, використовуючи формулу n – го члена прогресій:

1) а1 = 5, а2 = 7, d = 2, an = 19, n = 8;

2) b1 = 5, b2 = 25, q = 5, bn = 625, n = 4.

Типи задач:

-  Означення арифметичної (геометричної) прогресії, різниця (знаменник) даної прогресії.

-  Застосування формули n – го члена для знаходження довільного члена даної прогресії.

-  Застосування формули n – го члена для знаходження першого члена даної прогресії.

-  Застосування формули n – го члена для знаходження номера члена даної прогресії.

Зупинка „Навчаючи – вчуся!”

(працюють учні, що одержали випереджальне завдання додому).

Задача 1. Довжини сторін прямокутного трикутника є послідовними членами арифметичної прогресії з різницею d см. Знайдіть три трійки чисел, що виражають довжини сторін цього трикутника.

Розв’язання:

Нехай х (см) – довжина меншого катета; (х + d) см – довжина іншого катета;

(х + 2d) см – довжина гіпотенузи.

За т. Піфагора: (х + 2d)2 = х2 + (х + d)2.

Розв’язуючи дане рівняння, прийдемо до наступного: х2 – 2хd – 3d = 0;

х1 = 3d; х2 = –d – не задовольняє умові задачі.

Нехай d = 1, тоді довжини сторін трикутника дорівнюють 3, 4, 5 см.

Нехай d = 2, тоді довжини сторін дорівнюють 6, 8, 10 см.

Нехай d = 3, тоді довжини сторін дорівнюють 9, 12, 15 см.

Задача 2. Периметр трикутника дорівнює 111 см, а довжина найменшої сторони 27 см. Знайти довжини двох інших сторін цього трикутника, якщо відомо, що довжини сторін трикутника являють собою послідовні члени геометричної прогресії.

Розв’язання:

Нехай довжини сторін трикутника – члени геометричної прогресії зі знаменником q, тоді друга сторона дорівнює ( 27q) см, а третя – ( 27q2) см.

Р = 27 + 27q + 27q2 або 111 см.

Складемо й розв’яжемо рівняння:

27 + 27q + 27q2 = 111;

9q2 + 9q – 28 = 0;

Завдання додому: прочитати теоретичний матеріал пп.21, 23;

вивчити конспект;

виконати №№ 000, 673, 775, 778.

Продовжуємо вивчати

Арифметична і геометрична прогресії

Девіз уроку: Приклади в навчанні корисніші за правила.  Ісаак Ньютон

Російський математик сказав: «Є одна наука, без якої неможлива ніяка наука. Це – математика. Її поняття та символи слугують тією мовою, якою говорять, пишуть і думають інші науки, вона пояснює закономірність складних явищ, приводить їх до простих, елементарних явищ природи. Вона прогнозує, обчислює далеко вперед з великою точністю хід речей».

На сьогоднішньому уроці ми розглянувши розв’язання різноманітних задач узагальнимо і систематизуємо наші знання з теми «Арифметична і геометрична прогресії».Запишіть число і тему уроку.

Ми вивчаємо одну з найцікавіших тем математики – прогресії. Внутрішня гармонія, строга витончена краса роблять теорію арифметичної і геометричної прогресії відображенням фундаментальних властивостей життя того вимагає.

На сьогоднішньому уроці ми побачимо, як можна застосувати вивчене в житті, в науках.

 Питання до вас:

Питання1.  Сформулюйте означення арифметичної прогресії.

Питання2.  Дайте означення геометричної прогресії.

Питання3.  Що спільного в означеннях, чим вони відрізняються?

Питання4. Яке число називається різницею n – го члена арифметичної прогресії?

Питання5. Що називається знаменником геометричної прогресії?

« Розминка».

  Перед вами на картках записані різні послідовності. Ваше завдання – правильно визначити тип послідовності і вказати відповідь.

    Арифметична прогресія – А; геометрична прогресія – Г; арифметична і одночасно геометрична – АГ; ні арифметична ні геометрична – Х.

1)  4; 8; 12; 16; 20; …  

2)  3; 32; 33; 34; 35; … 

3)  -2; -5; -8; -11; -14;…  

4)  6; 6; 6; 6; 6; … 

5)  1; ½; ¼; 1/8; …     

6)  1; 0,1; 0,01; 0,001; … 

7)  2; 7 ; 9; 22; 36; …   

8)  2; 3; 5; 7; 11; … 

9)  2; 4; 6; 8; 10; …  

10)   9; 9; 9; 9; 9; …  

11)   2; 4; 8; 16; 32; …

12)   1/5; 1/10; 1/15; 1/20; … 

Знаючи означення і властивості числових послідовностей  дає можливість використовувати їх при розв’язанні задач різноманітного характеру.

У клинописних табличках вавилонян, як і в єгипетських папірусах, які належать II тисячоліттю до нашої ери, зустрічаються приклади арифметичної і геометричної прогресії. 

 Ось одна єгипетська  задача з папірусу Ахмеса:

Нехай тобі сказано поділити 10 мір ячменю між 10 людьми, різниця між кожною людиною і її сусідом дорівнює 1/8 міни ( 1міна = 60 шекелів).

  Розв’язуючи такі задачі єгиптяни користувалися правилом, яке сучасною символікою можна записати так:   

  А = S/n – (n – 1) d/2,

А цей запис еквівалентний формулі:

  S = (a+b)/2 · n

Перші задачі на прогресії, які дійшли до нас, пов’язані з життєвими потребами людини.

 У папірусі Ахмеса є задача, в якій потрібно знайти суму n членів геометричної прогресії, знаючи її перший член і знаменник.

  З однієї клинописної таблички можна зробити висновок, що, спостерігаючи за Місяцем, вавилоняни дійшли висновку: за перші 5 днів після нового місяця зростання Місячного диска відбувається за законом геометричної прогресії із знаменником 2.

 У пізнішій табличці йдеться про суму геометричної прогресії

  1 + 2 + 22 + …+ 29.

Розв’язання і відповідь показують, що автор користувався формулою:

  Sn + 2n + ( 2n – 1 ),

але як він дійшов до цієї формули нічого не відомо.

 Слово «прогресія» латинського походження і означає рух вперед. З поняттям прогресії пов’язані різні історії і легенди. Ось одна з них задача – легенда.

 Індійський правитель Шерам покликав до себе винахідника шахової гри, свого підданого Сету, щоб нагородити його за винахід. Сету захотів за першу клітинку шахової дошки 1 пшеничне зерно, за другу 2 зернини, за третю – 4 зернини і т. д. Правитель не зміг виконати бажання Сети. Чому?

  Розв’язання.

У цій задачі треба знайти суму геометричної прогресії (bn): 1, 2, 4, 8, …, 263.

  S64= 264 – 1 = 18,5· 1018 = 18 446 744 073 709 551 615.

Таку кількість зерна пшениці можна зібрати з площі 2000 разів більшої від усієї поверхні  Землі.

 Одного разу на уроці у третьому класі, де навчався Карл Гаусс (з часом відомий  німецький математик), учитель запропонував знайти суму чисел від 1 до 100. Гаусс закінчив обчислення, ледве вчитель закінчив коментувати завдання.

  Розв’язання.

  1 + 100 = 101,

  2 + 99 = 101,

  3 + 98 = 101, і т. д.

 Таких пар буде  100 : 2 = 50, тепер залишилося 101 · 50=5050.

Прогресії у фізиці.

Хочеться продемонструвати ще одну грань застосування прогресії. Я буду говорити про використання прогресії в фізиці.

Прогресії виражають закони деяких фізичних явищ. Наприклад, тіло, що вільно падає, рухається рівноприскорено. Який рух називається рівноприскореним? Відрізки шляху, пройдені цим тілом за першу, другу, третю, четверту,… секунди, становлять арифметичну прогресію. 

 Відкрийте підручник на стор.255, задача № 000.

 Задача. Тіло, що вільно падає, за одну секунду долає 4,9м, а за кожну наступну – на 9,8м більше, ніж за попередню. Знайдіть глибину шахти, якщо тіло  опинилося на дні через 8с від початку падіння.

Дано:  Розв’язок.

h1 = 4,9м  S = v0t + at2/2 , т. як v0 = 0

а =9,8 м/с2  S = at2 / 2

t = 8c  S = 9,8 · 64 : 2 = 313,6м

S - ? , де S - шлях при рівноприскореному русі

 А ось як ця ж задача розв’язується в алгебрі (розв’язок показано на дошці)

Дано:  Розв’язок. 

 а1  = 4,9  аn = а1 + d( n – 1 ); Sn= (a1 + an)n : 2

 d  = 9,8  a8 = a1 + 7d  ;  S8  = (a1 + a8 ) n : 2 

 Знайти: S8 -?  a8 = 4,9 + 7 · 9,8 = 73,5

   S8 = (4,9 + 73,5)8 : 2 = 313,6

 Відповідь: 313,6 м.

   Ви переконались, що розв’язуючи задачі за допомогою формул фізики і формулами арифметичної прогресії ми одержуємо одну і ту ж відповідь. Це дає змогу зробити висновок : за допомогою формул арифметичної, геометричної прогресій можна розв’язувати не лише  математичні задачі.

Задача економічного змісту.

Уявіть, що ви хочете взяти в банку кредит у розмірі 3000 гривень. За перший день ви будете зобов'язані заплати­ти банку 1 копійку, за другий —

2 копійки, за третій  4 ко­пійки і т. д. Чи укладете ви з цим банком договір не менше ніж на 10 днів?

Розв’язання.

1,2,4…- геометрична прогресія, b1=1, q=2? S10 -?

Задача біологічного змісту.

Бактерія, потрапивши в ор­ганізм людини, до кінця 20-ї хвилини ділиться на дві, кожна з них до кінця 20-ї хвилини знову ділиться на дві і т. д. Скільки бактерій буде в орга­нізмі людині через 1 годину? 2 години? 1 добу?

Розв’язання.

А тепер, діти, ви приступаєте до виконання самостійної роботи. Відповіді підкреслюєте, а необхідні обчислення виконуєте в робочому зошиті.

Самостійна робота в тестовій формі і розрахована на 5 хв. Перевіряється в режимі взаємоперевірки за заготовленими відповідями на дисплеї комп’ютера.

Завдання 1, 2 оцінюються 1 балом, завдання 3-7 по 2 бали.

Самостійна робота

1. Знайти різницю арифметичної прогресії: 2;-2;....

А.0. Б. 2.

В. 4. Г.-4.

2. Знайти знаменник геометричної прогресії
(bn),якщо b1 =1, b2 =6.

А. 5. Б. 6.

В. 7. Г. -5.

3. Дано: (ап) — арифметична прогресія,

а1 = -3, d = - 6. Знайти а5.

А. -21. Б. 6.

В. 21. Г. -27.

4. Дано: ( bп) — геометрична прогресія, b1 = 16, q = .Знайти S4 .

А. -2. Б. 14.

В. 7,5. Г. –30.

5. Дано: (ап) — арифметична прогресія, а1 = 8,d = . Знайти S6 .

А. 15 . Б. 126.

В. 55,5. Г. 15.

6. Записати у вигляді звичайного дробу 1,(17).

А. . Б. 1 .

В. . Б. .

7. Знайти суму всіх двоцифрових чисел, крат­них 6.

А. 360. Б. 540.

B. 960. Г. 810.

Задача (розігрується в ролях)

Мешканець маленького містечка був відомий своєю скнарістю. Коли в нього були справи в по­вітовому місті, розташованому в 25 км від цього містечка, він, звичайно, шукав сусідів, які б підвез­ли його. Одного разу скнара крутився на площі, шукаючи того, хто підвіз би його «за спасибі» додо­му. Але цього разу нікого не було, і він змушений був шукати платного візника. Скнара обійшов їх усіх, торгуючись з ними й порівнюючи ціни. Один просив 250 грн., другий — 200 грн., а третій — 150 грн. Усі ці ціни здалися йому занадто високи­ми. Нарешті він помітив візника з убогим візком і жалюгідною шкапою. Коли скнара запитав його, скільки він візьме за дорогу, той подивився на зем­лю, почухав потилицю і відповів: «За перший кіло­метр заплатите мені 1 к., за другий — 2 к., за тре­тій — 4 к., за четвертий — 8к., і так до кінця шляху». «От дурний, — подумав скнара, ледве стримуючи сміх, — лічить на копійки». Поспіхом він заліз у візок і гукнув “Згоден ! Поїхали!» . Скільки грошей він повинен заплатити за дорогу?

2. Домашнє завдання.

Домашнє завдання ви будете сьогодні вибирати самостійно. Попереду у вас державна підсумкова атестація з алгебри. Подібних завдань в збірнику завдань для державної підсумкової атестації з теми «Прогресії» багато, тому ви зараз оберете собі варіант тренувальних вправ. Зверніть увагу, що кожен варіант містить задачу від банку і задачу від альпініста.

На цьому наш урок закінчено, спасибі вам за співпрацю.

Арифметична прогресія та геометрична прогресії навколо нас

Пропоную узагальнити знання з теми «Арифметична прогресія». 

Продемонструвати практичне застосування даної теми в різних галузях.

Продовжуємо вивчати геометричну прогресію