Тема тиждня
Симетрія. Симетрія відносно точки, відносно прямої
Симетрія. Симетрія відносно точки, відносно прямої
1) Яке перетворення фігури називається переміщенням?
2) Доведіть, що під час руху точки, які лежать на прямій, переходять у точки, які також лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення.
3) У що переходять прямі, відрізки при переміщенні?
4) Доведіть, що при переміщенні зберігаються кути.
5) Периметри двох ромбів рівні. Чи випливає з цього, що і ромби рівні?
6) Периметри двох квадратів рівні. Чи рівні квадрати?
Засвоєння нових знань
Перетворення фігур за допомогою переміщення має декілька видів. Сьогодні ми ознайомимося з перетворенням фігури за допомогою симетрії відносно точки та прямої. Розглянемо, спочатку симетрію відносно точки.
Означення. Точки A і A1 називають симетричними відносно точки O, якщо точка O є серединою відрізка AA1 (рис. 19.1). Точку O вважають симетричною самій собі.
Наприклад, точки A і A1, у яких як абсциси, так і ординати — протилежні числа, симетричні відносно початку координат (рис. 19.2).
Розглянемо фігуру F і точку O. Кожній точці X фігури F поставимо у відповідність симетричну їй відносно точки O точку X1. Унаслідок такого перетворення фігури F отримаємо фігуру F1 (рис. 19.3). Таке перетворення фігури F називають центральною симетрією відносно точки O. Точку O називають центром симетрії. Також говорять, що фігури F і F1 симетричні відносно точки O.
Означення. Фігуру називають симетричною відносно точки O, якщо для кожної точки даної фігури точка, симетрична їй відносно точки O, також належить цій фігурі.
Для побудови точки А’ симетричної точці А відносно точки О слід:
1) Провести промінь АО
2) По інший бік від точки О відкласти відрізок ОА’ рівний відрізку ОА. (рис. 19.1)
Властивості симетрії відносно точки (центральної симетрії)
1) Перетворення симетрії відносно точки є переміщенням.
2) Перетворення симетрії відносно точки перетворює пряму на паралельну їй пряму або на себе; відрізок — на рівний і паралельний йому відрізок; многокутник — на рівний йому многокутник.
3) Будь-яка пряма, що проходить через центр симетрії, відображається при цій симетрії на себе. Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру F у себе, то вона називається центральносиметричною, а точка О — центром симетрії.
4) При симетричному відображені точок у декартовій системі координат відносно початку координат кожна координата точки змінює свій знак на протилежний. Початок координат є симетричний сам до себе.
Означення. Точки A і A1 називають симетричними відносно прямої l, якщо пряма l є серединним перпендикуляром відрізка AA1 Якщо точка A належить прямій l, то її вважають симетричною самій собі відносно прямої l.
Наприклад, точки A і A1, у яких ординати рівні, а абсциси - протилежні числа, симетричні відносно осі ординат
Розглянемо фігуру F і пряму l. Кожній точці X фігури F поставимо у відповідність симетричну їй відносно прямої l точку X1. Унаслідок такого перетворення фігури F отримаємо фігуру F1 (рис. 18.3). Таке перетворення фігури F називають осьовою симетрією відносно прямої l. Пряму l називають віссю симетрії. Говорять, що фігури F і F1 симетричні відносно прямої l.
Означення. Фігуру називають симетричною відносно прямої l, якщо для кожної точки даної фігури точка, симетрична їй відносно прямої l, також належить цій фігурі.
Пряму l називають віссю симетрії фігури. Також говорять, що фігура має вісь симетрії.
Властивості осьової симетрії
1) Перетворення осьової симетрії є переміщенням.
2) Осьова симетрія перетворює пряму на пряму; відрізок — на відрізок; многокутник — на рівний йому многокутник.
3) Точки, що належать осі симетрії, відображаються самі на себе.
